Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

NAMA  : MAYLANO DIMAS S.P

KELAS : X MIPA 1

ABSEN : 16 

PENGERTIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah pasangan dari dua nilai peubah x atau y yang ekuivalen dengan bentuk umumnya yang mempunyai pasangan terurut (xo, yo). Bentuk umum dari SPLDV adalah sebagai berikut : 

ax + by = p

cx + dy = q

Sedangkan solusi dari hasil bentuk umum di atas disebut (xo,yo) disebut himpunan penyelesaiannya. Contoh SPLDV adalah sebagai berikut : 

3x + 2y = 10

9x – 7y = 43

Dan Himpunan Penyelesaiannya adalah {(x,y) (4,-1)}.

Metode Penyelesaian SPLDV

1. Metode Grafik 

Metode grafik adalah menentukan titik potong antara dua persamaan garis sehingga di dapatkan himpunan penyelesaian dari persamaan linear dua variabel tersebut. Apabila diperoleh persamaan dua garis tersebut saling sejajar, maka himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong. Sedangkan jika garisnya saling berhimpit maka jumlah himpunan penyelesaiannya tak berhingga. Langkah-langkah penyelesaian menggunakan metode grafik adalah sebagai berikut :

1. Gambarkan grafik garis ax + by = p dan cx + dy = q pada sebuah sistem koordinat Cartesius. Pada langkah ini, kita harus menentukan titik potong sumbu X dan titik potong sumbu Y nya yaitu titik potong sumbu X saat y = 0 dan titik potong sumbu Y saat x = 0. Lalu kemudian hubungan kedua titik potong tersebut sehingga diperoleh garis persamaan.
2. Tentukan koordinat titik potong kedua garis ax + by = p dan cx + dy = q (jika ada).
3. Tuliskan himpunan penyelesainnya.

2. Metode Eliminasi dengan Penyamaan

Misalkan kita mempunyai SPLDV dalam variabel x dan y. Andaikan kita membuat suatu persamaan yang tidak lagi mengandung nilai x nya, maka dikatakan bahwa x telah dieliminasikan dengan penyamaan. Langkah strateginya adalah dengan mencari nilai x dari kedua persamaan yang diberikan itu (nilai y seolah-olah dianggap sebagai bilangan yang diketahui, maka dikatakan bahwa x dinyatakan dalam y). Kemudian hasil yang didapat dipersamakan. Dalam kasus ini kita juga dapat menyatakan nilai y ke dalam x, kemudian kita samakan dari persamaan-persamaan itu. Contohnya sebagai berikut : 

Carilah himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut ini : 

3x + 5y = 21

2x – 7y = 45

Penyelesaian : 

Kelemahan dari metode eliminasi dengan penyamaan adalah akan memerlukan banyak langkah (dapat sampai 4 langkah), karena misalnya salah satu variabel yang diketahui tidak langsung disubstitusi ke persamaan, namun dicari variabel yang lain menggunakan eliminasi sehingga rawan akan ketidaktelitian saat menghitung.

3. Metode Eliminasi dengan Substitusi

Apabila kita mempunyai SPLDV dalam variabel x dan y. langkah-langkah penyelesaian metode Eliminasi dengan Substitusi adalah sebagai berikut : 

1. Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana, kemudian nyatakan y dalam x atau x dalam y.
2. Substitusikan x atau y yang diperoleh pada langkah 1 ke dalam persamaan lainnya.
3. Selesaikan persamaan yang diperoleh pada langkah 2.
4. Tuliskan himpunan penyelesainnya.

Contoh soal: Metode Eliminasi dengan Substitusi
Carilah himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut ini : 

3x + 2y = 10

9x – 7y = 43

Penyelesaian : 

Langkah 1 : nyatakan ke dalam variabel y

Langkah 2 : selesaikan nilai x dan y

Langkah 3 : substitusikan nilai x dan y ke dalam persamaan : 

Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {4, -1}.

Keunggulan Metode Eliminasi dengan Substitusi adalah sangat mudah digunakan dan efektif untuk menyelesaikan soal SPLDV secara cepat dan tepat. Kelemahan dari metode ini adalah tidak disarankan apabila digunakan untuk masalah persamaan linear yang kompleks seperti sistem persamaan linear 3 variabel.

4. Metode Gabungan Eliminasi Menjumlahkan atau mengurangkan dan Substitusi

Apabila kita mempunyai Sistem Persamaan linear dua variabel ke dalam variabel x dan y. langkah-langkah untuk menyelesaikan SPLDV ini adalah sebagai berikut : 

Langkah 1 : Tentukan nilai x atau y menggunakan metode eliminasi dengan menjumlahkan atau mengurangkan.

Langkah 2 : Substitusikan nilai x atau y yang diperoleh pada langkah 1 ke salah satu persamaan yang diperoleh dan selesaikanlah persamaan itu.

Langkah 3 : Tulislah himpunan penyelesaiannya.

Contoh soal : 

Carilah Himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut ini :

4 (x-1) + y = 5x – 3y + 6

3x – 2y – 4 = 2x + 2

Penyelesaian : 

Jabarkan persamaan di atas terlebih dahulu sehingga didapat persamaan yang sederhana : 

4 (x-1) + y = 5x – 3y + 6

    4x – 4 + y = 5x – 3y + 6

x – 4y = -10…………………….(1)

3x – 2y – 4 = 2x + 2

   3x – 2y + 4 = 2x + 2

x – 2y = -2 …………………. (2)

Langkah 1 : Tentukan nilai x dan y menggunakan metode eliminasi dan substitusi : 

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {6,-2}.

Keunggulan dari Metode ini adalah mudah digunakan, dapat digunakan untuk menyelesaikan soal aplikasi SPLDV dalam kehidupan sehari-hari, dan juga relevan apabila digunakan untuk permasalahan linear yang kompleks seperti sistem persamaan linear 3 variabel. 

CONTOH SOAL SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

1. Dua tahun yang lalu umur Harry 6 kali umur Laras. Delapan belas tahun kemudian umur Harry akan menjadi dua kali umur Laras. Tentukan umur mereka masing-masing. 

Pembahasan : 

Misalkan umur Harry dan umur Laras berturut-turut adalah x tahun dan y tahun, maka : 

(x-2) = 6 (y-2)  ↔ x-6y = -10

x+18 = 2 (y+18) ↔  x-2y =18

x – 6y = -10

x – 2y = 18-

-4y = -28

                 y = 7

    y = 7  → x – 6y = -10

                   x – 6 (7) = -10

                     x = 32

Jadi, Harry berumur 32 tahun dan Laras berumur 7 tahun.

2. Keliling suatu segitiga ΔXYZ sama kaki adalah 43,5 cm. panjang sisi x adalah 3 cm kurangnya dari panjang sisi y. tentukan panjang x dan y. 

Pembahasan : 

Keliling   = 43,5 cm

x + y + z = 43,5 cm
2x + y     = 43,5 cm

Misalkan x = y – 3,    x – y = 3

Lalu dibuat ke persamaan SPLDV nya menjadi : 

2x + y     =43,5
x – y       =3 +
3x           =48, 5
x             =13,5 → x-y = -3
13,5 – y = -3
y             =16,5 cm